12/22/2006

12.4 Del2--Laplacian

Del2指令--非連續Laplacian


若U矩陣為一個函數u(x,y),其計算值係以該點之方格網絡為基準,則4*del2(U)是拉普拉斯運算函數U之估計值,是以固定差分法估算的方式。亦即令:

L=▽²u/4 = (1/4)[d²u/dx² +d²u/dy²]

其中,

L(ij)= (1/4)[ui+1,j + ui-1,j +ui,j+ui,i+1+ui,j-1-ui-1,j-1

上述L矩陣與U同大小,其值為四個相鄰點平均值。上式若為三度空間,則除數4要改為6。計算上述函數之指令格式如下:

 L = del2(U)
 L = del2(U,h)
 L = del2(U,hx,hy)
 L = del2(U,hx,hy,hz,...)

其中U矩陣之每點之間隔為1,亦即h=1,若h之值不同於1,則另設其值。若U為兩維函數,則其在X與Y方向之間隔可用hx與hy另定,甚至三度空間也可加hz定義。


例:設U=x²+3y²,求其Laplacian向量


[x, y]=meshgrid(-4:4,-3:3);
U=x.*x+2*y.^2
V=4*del2(U)

U =
34 27 22 19 18 19 22 27 34
24 17 12 9 8 9 12 17 24
18 11 6 3 2 3 6 11 18
16 9 4 1 0 1 4 9 16
18 11 6 3 2 3 6 11 18
24 17 12 9 8 9 12 17 24
34 27 22 19 18 19 22 27 34
V =
6 6 6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6 6 6 6