12.3 數值梯度gradient

12.3數值梯度gradient

一具有二自變數之函數F(x,y,z)，其梯度之定義為：

 ▽F = (dF/dx)i +(dF/dy)j +(dF/dz)k

其計算之指令格式如下：

 FX = gradient(F)
 [FX,FY] = gradient(F)
 [Fx,Fy,Fz,...] = gradient(F)
 [...] = gradient(F,h)
 [...] = gradient(F,h1,h2,...)

其中Ｆ為函數向量，切分後之間隔預設值為1，亦即h=1；若函數之變數增多，則h之值可因變數之不同另外設值。例如，h1可能屬於第一變數之區間；h2為第二變數之區間，而左邊之輸出值則依x,y,z之分量。

例一：

 v=-2:0.2:2;
 [x,y]=meshgrid(v);
 z=x.*exp(-x.^2-y.^2);
 [px,py]=gradient(z,.2,.2);
 contour(z),hold on, quiver(px,py), hold off 

例二:

設有一向量Ｆ由魔術矩陣及巴斯上矩陣組成，其內容為：

>> F(:,:,1) = magic(3); F(:,:,2) = pascal(3);
>> F

F(:,:,1) =

     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2


F(:,:,2) =

     1     1     1
     1     2     3
     1     3     6

取其梯度值，即▽F，設dx=1，dy=1，dz=1。則

>> gradient(F)

ans(:,:,1) =

    -7    -1     5
     2     2     2
     5    -1    -7


ans(:,:,2) =

         0         0         0
    1.0000    1.0000    1.0000
    2.0000    2.5000    3.0000

若間矩不同，即設dx=0.1，dy=0.1，dz=0.1。則▽F為

>> [PX,PY,PZ] = gradient(F,0.1,0.2,0.3) 

PX(:,:,1) =

  -70.0000  -10.0000   50.0000
   20.0000   20.0000   20.0000
   50.0000  -10.0000  -70.0000


PX(:,:,2) =

         0         0         0
   10.0000   10.0000   10.0000
   20.0000   25.0000   30.0000


PY(:,:,1) =

  -25.0000   20.0000    5.0000
  -10.0000   20.0000  -10.0000
    5.0000   20.0000  -25.0000


PY(:,:,2) =

         0    5.0000   10.0000
         0    5.0000   12.5000
         0    5.0000   15.0000


PZ(:,:,1) =

  -23.3333         0  -16.6667
   -6.6667  -10.0000  -13.3333
  -10.0000  -20.0000   13.3333


PZ(:,:,2) =

  -23.3333         0  -16.6667
   -6.6667  -10.0000  -13.3333
  -10.0000  -20.0000   13.3333