11.13.3 非線性迴歸nlinfit

進行非線性迴歸時可使用nlinfit指令，其語法如下：

beta = nlinfit(X,y,fun,beta0)
[beta,r,J] = nlinfit(X,y,fun,beta0)
[...] = nlinfit(X, y, fun, beta0, options)

非線性迴歸法係利用最小平方法求得非線性函數之係數。其中y為回應向量，Ｘ為設計矩陣，配合所需之獨立變數，其值為一列對應一個Ｙ元素。實際上Ｘ可為任意陣列，只要fun這個函數接受。這個fun函數具有下列之型式：

yhat=myfun(beta, X)

其中，beta為係數向量，而Ｘ為設計矩陣。fun回應一個適配y值之向量yhat。在原來之指令中，beta0則為係數之初值。其正確之係數值beta則出現在等號之左方，其殘值為r，及Jacobian矩陣Ｊ。這些輸出參數都可以作為nlpredci函數指令之輸入，以估計預測值及係數值之相關誤差。
參數中，options則提供輸入的控制參數，以正確執行nlinfit之功能。此options亦可利用statset函數產生。options的欄位包括：

1. MaxIter：最高容許迴圈次數，預設值為100。
2. TolFun：殘餘平方運算終止容許值，預設值為1e-8。
3. TolX：計算beta係數之終止容許值，預設值為1e-8。
4. Display：運算期間之輸出－'off'（預設值）或 'iter'或 'final'

例：在工具箱中，有reaction.mat之資料，這是有關化學反應所到之觀察值，其中牽涉到三種化學反應：氫、n-戊烷、同位戊烷等。其中之函數hougen已經存在，是使用Hougen-Watson模式建立之反應動能量，其回應值為預設之反應速率。首先，下載資料：

load reaction
betafit = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta)
betafit =
   1.2526
   0.062776
   0.040048
   0.11242
 　1.1914

其中之hougen.m可以type hougen，得其內容如下：

function yhat = hougen(beta,x)
%HOUGEN Hougen-Watson model for reaction kinetics.
%   YHAT = HOUGEN(BETA,X) gives the predicted values of the
%   reaction rate, YHAT, as a function of the vector of
%   parameters, BETA, and the matrix of data, X.
%   BETA must have 5 elements and X must have three
%   columns.
%
%   The model form is:
%   y = (b1*x2 - x3/b5)./(1+b2*x1+b3*x2+b4*x3)
%
%   Reference:
%      [1]  Bates, Douglas, and Watts, Donald, "Nonlinear
%      Regression Analysis and Its Applications", Wiley
%      1988 p. 271-272.


%   Copyright 1993-2004 The MathWorks, Inc.
%   $Revision: 2.7.2.1 $  $Date: 2004/01/24 09:34:06 $
%   B.A. Jones 1-06-95.

b1 = beta(1);
b2 = beta(2);
b3 = beta(3);
b4 = beta(4);
b5 = beta(5);

x1 = x(:,1);
x2 = x(:,2);
x3 = x(:,3);


yhat = (b1*x2 - x3/b5)./(1+b2*x1+b3*x2+b4*x3);

另有一個nlintool指令函數則可利用圖形介面執行如下，讀者可試在指令窗下打入執行之。