8.5多項式曲線適配法

多項式曲線適配法可以利用polyfit完成。利用現有之資料組合[x,y]以求最佳之多項式曲線，其語法如下：

  p = polyfit(x,y,n)
  [p,S] = polyfit(x,y,n)
  [p,S,mu] = polyfit(x,y,n)

其中[x, y]為資料組，n為多項式之最高階數，p則是所得多項式之係數向量。Ｓ則為結構矩陣，其下有R、df、normr等欄位，代表ＱＲ之分解結構、自由度及副變量。

範例：

這個例子是利用現有資料適配erf(x)函數，並利用x之多項式表示。這個例子雖然不很適當，因為erf(x)函數有其特定範圍，一般多項式則沒有範圍。故利用資料適配的結果可能不會很理想。

開始時先產生x之向量點，該其均勻分佈於一個區間，然後使用erf(x)函數進行估計：

x = (0: 0.1: 2.5)';
y = erf(x); 

設多項式最高階n=6，則

p = polyfit(x,y,6)

得到之結果，多項式係數為：

p =

 0.0084  -0.0983   0.4217   -0.7435  0.1471   1.1064  0.0004

為瞭解所得之多項式與實際值有多接近，可以使用polyval這個求值的函數，同時將其作成表格作比較，最後一項則為誤差：

f = polyval(p,x); 

table = [x y f y-f]
 
 table =

    0          0          0.0004    -0.0004
    0.1000     0.1125     0.1119     0.0006
    0.2000     0.2227     0.2223     0.0004
    0.3000     0.3286     0.3287    -0.0001
    0.4000     0.4284     0.4288    -0.0004
    ...
    2.1000     0.9970     0.9969     0.0001
    2.2000     0.9981     0.9982    -0.0001
    2.3000     0.9989     0.9991    -0.0003
    2.4000     0.9993     0.9995    -0.0002
    2.5000     0.9996     0.9994     0.0002

在這個區間內，看起來其適配情形還不錯，可以到小數三、四位。但不要高興太早，因為超出此範圍後，多項式會如脫韁之馬，很快就露出馬腳。利用下面程式內容，可以立即用圖形進行比較其誤差之大小，結果則請讀者自行執行。

x = (0: 0.1: 5)';
y = erf(x);
f = polyval(p,x);
plot(x,y,'o',x,f,'-')
axis([0  5  0  2])