10.2 範例四：穩態熱傳導的問題

穩態熱傳導的問題

熱傳導是溫差產生的熱能流動，其流動速率與材料之熱阻係數有關。其公式如下：

  q = Q/t 
    = k A (Th-Tc)/d 
    = ΔT/(d/kA) 
    = Δ/R

其中d為材料之厚度，Ａ為截面積，k為熱導係數，其單位為W/[mK]。R則為熱阻，等於d/kA。熱阻的觀念可以用來模擬電路，並進行解析。圖為一道牆由木板、玻璃纖維、水泥及磚牆等材料。這些材質之熱導係數可參閱此網站http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/heatcond.html#c1。其他相關值如下：

材質名稱	熱導係數W/[mK]
磚牆	0.6
木材	0.12-0.04
石膏	0.08
玻璃纖維	0.04
玻璃	0.8
水泥	0.8
鐵板	50.2
水	0.6

熱阻與電阻之類比關係

將各層產生之熱阻，以電路的方式進行串聯，即可形成類似網路，並計算各層之溫度。其各層間之關係式如下：



　　 　　
以矩陣表示，即為[A][T]=[C]。其溫度T可解如後：

    [T]=[A]\[C]

程式說明

程式heat_wall.m可以執行上述之操作。輸入項包括內外溫度(ti,to)、各層熱導係數(k)、厚度(thick)及截面積(area)等。執行後即可得到溫度分佈及熱流(q)等。

程式內容

function [T,x,q]=heat_wall(ti,to,k,thick,area)
% Prog calculating heat transfer through a wall.
% Inputs:
%   ti,to: inside & outside temperature, C
%   k: thermoconductivities of each layer, W[m.C]
%   thick:thickness of each layer, mm
%   area:the crosssection area, m^2
% Outputs:
%   temp:[heatflow & temperatures at each layer, W/m^2,C
% Example:
%  [T,x,q]=heat_wall(20,-10,[0.08 0.04 0.12 0.6],...
%          [10 125 60 50])
% Designed by D.S. Fon. Date: Nov. 26, 2006
if nargin<5, area=1;end
R=thick./k/area/1000;
nn=length(thick);C=zeros(1,nn);
CC=-eye(nn)+[[zeros(nn-1,1) eye(nn-1)];C];
A=[R',CC(:,2:end)]
C=[ti C(2:end-1) -to]';
x=[0 cumsum(thick)];
TT=A\C;q=TT(1);T=[ti TT(2:end)' to];
line(x,T,'marker','s')
xlabel('distance,mm')
ylabel('Temperature,C')

執行例：

設室內溫度為攝氏25度，室外為-10度。牆壁由內而外為木板(50mm)、玻璃纖維(100mm)、水泥面(20mm)、磚牆(200mm)，其對應之熱導係數分別為[0.12 0.04 0.8 0.6]。以此代入heat_wall程式中執行，得其結果：

>> [T,x,q]=heat_wall(20,-10,[0.08 0.04 0.12 0.6], [10 125 60 50])

A =

 0.1250    1.0000         0         0
 3.1250   -1.0000    1.0000         0
 0.5000         0   -1.0000    1.0000
 0.0833         0         0   -1.0000

T =
20.0000   19.0217   -5.4348   -9.3478  -10.0000

x =
  0    10   135   195   245

q =
 7.8261

其溫度分佈則如下圖：

沿軸溫度分佈圖

若內外側均採用木板，但內側厚度為100mm，外側為60mm，則其溫度分佈及熱流量如下：

>> [T,x,q]=heat_wall(20,-10,[0.08 0.04 0.12 0.6 0.08], [100 125 60 50 60])

A =

 1.2500    1.0000         0         0         0
 3.1250   -1.0000    1.0000         0         0
 0.5000         0   -1.0000    1.0000         0
 0.0833         0         0   -1.0000    1.0000
 0.7500         0         0         0   -1.0000

T =

20.0000   13.4307   -2.9927   -5.6204   -6.0584  -10.0000

x =
  0   100   225   285   335   395

q =

 5.2555

其溫度變化雖不大，但熱流量則有顯著的減少。