12.9矩陣解法

12.9矩陣解法

柯西型是高階微分方程之解法，但也可配合矩陣的型式求解。利用矩陣時，可以先以eig函數求其特徵值（eigen value），以確定其根及時間常數，其時間常數則為特徵根之負倒數。利用時間常數可以估計函數達到穩定狀態所需之時間。

以直流馬達之應用為例，電樞與電感Ｌ、電阻器Ｒ，共同串聯於一直流電壓之中如下圖，電樞則因扭力、慣性力及阻尼等達到動力平衡。

L(di/dt) = -Ri - Keω+v(t)
I(dω/dt)=KTi-Cdω

其中，L、R、I分別代表馬達的電感、電阻及電樞之轉動慣量，而Kt、Ke、Cd分別為力矩常數、反電動勢及阻尼係數。將上述聯立微分方程式改為柯西式，並設 x₁=i, x₂=ω，以此代入上式，並改寫矩陣型式：[X']=[A][X]+[1/L; 0]v(t)，其中

[X]=
    x1
    x2

[X']=
    x'1
    x'2

[A]=
    -R/L   -Ke/L
    KT/I   -Cd/I

設直流電壓v為一控制馬達的因子，利用電壓之變化可以將馬達加速到穩定的速度。經過一段時間運轉後，再減電壓，使電樞減速並至停止。

在解法器所需之函數中，其表示法除常用的匿函數外，亦可使用其他型式之函數。匿函數最大的優點可以在主程式中共享變數資源，但其形成必須濃縮在一行之中，有時無法表達所有信息，故仍然必須借助次函數或巢狀函數。巢狀函數是將函數包藏在主函數之中，可供主函數直接呼叫，也可以共用主函數內之變數。茲將上式改寫為程式，其結果如下：

function motor(R,L,Cd,I,Kt,Ke,Tc)
% Calculate the voltage & velocity of motor
%   R:resistor, ohms
%   L:Inductance, H
%   Cd: Coef of Damping of armature
%   Kt: Torque constant N.m/A
%   Ke: counter emf, V
%   I: moment of inertia, kg.m^2
%   Tc:control points for voltage=[t1 t2 tf]
% Example:
%   motor(0.6,0.002,0,6e-5,0.04,0.04,[0.1 0.4 0.5])
A=[-R/L, -Ke/L;Kt/I, -Cd/I];B=[1/L; 0];
   function v=volt(t)
       v=zeros(size(t));
       a=t<=Tc(3) & t>Tc(2); v(a)=-100*(t(a)-Tc(3));
       b=t<=Tc(2) & t>Tc(1); v(b)=10;
       v(t<Tc(1))=100*t(t<Tc(1));
   end
xdot=@(t,x) A*x+B*volt(t);
[t,x]=ode23(xdot,[0 0.6],[0 0]);
subplot(3,1,1)
plot(t,volt(t));xlabel('t(s)');ylabel('Voltage,V');
subplot(3,1,2)
plot(t,x(:,2),'k-');xlabel('t(s)');ylabel('Ang. Velocity,rads/s');
subplot(3,1,3)
plot(t,x(:,1),'r-');xlabel('t(s)');ylabel('current, A');
end

指令之格式如下：

  function motor(R, L, Cd, I, Kt, Ke, Tc)

輸入參數說明如下：

R：串聯電阻器， ohms
L：電感， H
Cd：電樞之阻尼係數
Kt：扭力常數，N.m/A
Ke：反電動勢， V
I：慣性扭矩， kg.m^2
Tc：電壓控制點=[t1 t2 tf]，t1升程第一段，t2返程始， tf返程終。

>> motor(0.6,0.002,0,6e-5,0.04,0.04,[0.1 0.4 0.5])