11.7 變異數分析ANOVA1

單向變異分析(ANOVA1)旨在尋找不同類別下之資料是否具有相同均值，亦即決定不同類別下，各量測值是否具有差異特性。在線性模式下，單向變異分析是最簡單的狀況。任何量測值可以矩陣表示如下：

yij = αjεij

其中，yij中每行j代表不同類別，並具有類別內之平均值 。在工具箱中存有hogg.mat資料，下載後可以作為執行anova1函數之用，其過程如下：

>> load hogg
>> hogg

hogg =
 24    14    11     7    19
 15     7     9     7    24
 21    12     7     4    19
 27    17    13     7    15
 33    14    12    12    10
 23    16    18    18    20

ANOVA指令之型式如下：

P = ANOVA1(X,GROUP,DISPLAYOPT)

此指令會將Ｘ組合之樣本矩陣中之各行視為比較之組別，以此決定組別間之平均值是否會相等。GROUP為分組向量，其長度應與X之行數相同，其內容即為各組之名稱。指令左邊為結果之機率，其值愈小表示相等之機率愈小，亦即顯著性之差異愈大。GROUP向量可以容許使用字串或細胞陣列，但必須以行表示。若不使用組別名稱則可以空格。

DISPLAYOPT為顯示開關，可用 'on' (預設值)或 'off'決定是否顯示結果圖。若要文字輸出ANOVA表，則可在左邊加一參數如ANOVATAB：

[P,ANOVATAB, stats] = ANOVA1(...)

參數ANOVATAB為細胞陣列，stats則為一些統計參數。

例：

>> [p,tbl,stats]=anova1(hogg)
p =
0.00011971
tbl =
'Source'     'SS'        'df'    'MS'        'F'         'Prob>F' 
'Columns'    [   803]    [ 4]    [200.75]    [9.0076]    [0.00011971]
'Error'      [557.17]    [25]    [22.287]          []              []
'Total'      [1360.2]    [29]          []          []              []
stats =
 gnames: [5x1 char]
      n: [6 6 6 6 6]
 source: 'anova1'
  means: [23.833 13.333 11.667 9.1667 17.833]
     df: 25
      s: 4.7209

在本例中，hogg之資料實際上各行代表不同處理之細菌繁殖情形。利用ANOVA變異分析表之結果亦可做 F-test，以證明不同處理是否仍然具有相同的結果。此例所得之p值約為 0.0001，這是一個相當小的值。換句話說，此種結果強烈顯示不同的處理其結果之差異是顯著的。若就或然率考慮，每10,000次實驗當中只有一次有結果相同的機會。對於研究者而言，這是一個很大的鼓舞，因為至少由統計分析結果可證明：不同處理比較下，應有很大的差異性的。當然，上述p值要正確，其基本假設是各項變異應獨立，且屬常態分配，其變異值也是固定。這些差異性由圖也可以看出端倪。



上述之指令，若要加上各行之名稱，則可另以如下之指令為之：

>> [p,tbl,stats]=anova1(hogg,{'A1','A2','A3','A4','A5'}')

其執行結果與前述無異，但在最後之組別圖中會出現分組之組名。