11.7.2雙變異分析

單變異與雙變異分析上不同的地方是後者具有兩組類別，其所定義的特性不相同。例如某汽車公司有兩家工廠，每家工廠均生產相同的三車種。此時生產之汽車之里程數作合理的比較時，其差異可能有兩項：其一是甲乙兩工廠間之差異，其二是車型間之差異。 此時工廠別與車型別兩者均會影響汽車之里程數。其間差異可能來自工廠間之製造，也可能是因車種設計或規格上的問題，後者之問題可能與工廠無關。 此外，某工廠也可能對生產某一車種有獨到的製造能力（可能因為有較佳的生產線吧！），卻製造其他車種則與另一工廠不相上下，這種效應稱為加減性，或兩項類別間之交互作用所產生之影響。

雙變異分析(ANOVA)是線性模式之特殊狀況。就汽車之里程數可以表示如下：

　　yijk=μ+α.j+βi.+γij+εijk

其中，y_ijk為里程數之觀察資料（列指標為i，行指標為j，重複標為k）。μ整個矩陣之平均值。α_.j為由於車型j與μ差異之均值，β_i.則是工廠別i與μ差異之均值，γ_ij為交互作用項，其在行向之和或列向之和為零。ε_ijk 為整個隨機之變異量。

由上述汽車之製造例可知，其觀察之里程數變成一種矩陣的型式，具有j行與i列的組別項，此時由行與列構成之組別或稱為處理(Treatment)，對應於行列方向之交叉點即為細胞(Cell)，每個細胞位置必須重複置放樣本觀察數，或稱為重複數( repetition)。若以矩陣表示，此重複數必須置於k方向。

ANOVA2為分析雙變異數之指令。其格式如下：

　　ANOVA2(X, REPS, DISPLAYOPT)

輸入參數Ｘ為觀察之資料矩陣，其行與列均需二項以上，以作為比較之基準。在各行的資料代表一類別；各列者則為另一類別。若每一對應細胞有多個觀察資料，則由REPS指定。若REPS=3，代表每個細胞位置有三筆資料，這些資料依列之類別依序置於列中。因此若REPS=3，則在列中每三筆資料屬其中一組，下三筆屬第二組，如此類推，其總列數因而應為三(REPS)的倍數。另外參數DISPLAYOPT之定義與前述指令之用法相同。

輸出參數則表示如下：

[P, TABLE, stats] = ANOVA2(...)

其中 P為p值之向量，而 TABLE則為細胞陣列，包括ANOVA表的內容。stats則為分析後之統計資料，可以作為其他指令如MULTCOMPARE函數之輸入。

若有非平衡變異資料則可採用ANOVAN指令進行分析，詳細情形可以參考手冊或輔助資料。
茲以工具箱中存有mileage.mat之車型生產資料為例，可以作為本節之分析示範：

>>load mileage
>>mileage
mileage =
        33.3         34.5         37.4
        33.4         34.8         36.8
        32.9         33.8         37.6
       32.6         33.4         36.6
       32.5         33.7         37
　        33         33.9         36.7 

此為三種車型（行）及二家工廠製造之汽車每加侖里程資料，其reps=3，故第1-3列代表第一家工廠製造之車輛，第4-6列代表第二家工廠。將相關參數代入anova2指令，可得結果為：

>>[p,tbl,stats] = anova2(mileage,3)
p =
2.4278e-010    0.0039095      0.84106

tbl =
'Source'         'SS'        'df'    'MS'         'F'          'Prob>F'
'Columns'     [53.351]    [ 2]    [ 26.676]    [ 234.22]    [2.4278e-010]
'Rows'        [ 1.445]    [ 1]    [  1.445]    [ 12.688]    [  0.0039095]
'Interaction' [  0.04]    [ 2]    [   0.02]    [0.17561]    [    0.84106]
'Error'       [1.3667]    [12]    [0.11389]           []               []
'Total'       [56.203]    [17]           []           []               []
stats =
  source: 'anova2'
 sigmasq: 0.11389
colmeans: [32.95 34.017 37.017]
    coln: 6
rowmeans: [34.944 34.378]
    rown: 9
   inter: 1
    pval: 0.84106
      df: 12

除文字及統計數據外，尚有一個標準的 ANOVA表，其中第一行為行，其平方和(SS)、自由度(df)及均方值 (MS=SS/df), F 檢定及或然率 p-值等。 F檢定可以檢驗車型間、工廠間及車型X工廠之交互作用（經過調整後之增加效應）產生之里程數是否相同。由於 p-值在車型間之效應幾乎近於零(至小數四位)，表示車型對里程數之變異甚大，有顯著之影響。經由 F檢定結果，因車型而發生同平均值之情況，其機率為萬分之一。若使用MULTCOMPARE指令比較：

>>COMPARISON = MULTCOMPARE(stats)

Note:  Your model includes an interaction term.  A test of main
effects can be difficult to interpret when the model includes
interactions.
COMPARISON =
        1            2      -1.5865      -1.0667     -0.54686
        1            3      -4.5865      -4.0667      -3.5469
        2            3      -3.5198           -3      -2.4802

利用multcompare函數比較結果，三車型之差異有明顯之不同。而 p-值對工廠間之機率值為 0.0039，這也是一個非常顯著之差異。顯然，某一工廠製造的汽車，其里程數是比另一廠為高。由其 p-值得知，只有千分之四的機率兩工廠製造的汽車之里程數才會相同。就工廠Ｘ車型間交互作用之影響而言，則不顯著。其 p-值僅 0.8411，亦即結果中，可能百分八四機率會出現無交互作用之影響。當然，此處顯示之 p-值若要正確，基本上整個樣本之分佈必須獨立、常態分配並有固定的變異常數。