10.2 線性聯立方程式矩陣解法

所謂線性方程式係指方程式中之變數僅屬一階者，其幕次不能大於一，且任何項中不得有兩變數相乘或相除之情形。在矩陣表示法上，通常採用[A][x]=[b]之型式，其解為[x]=[A]\[b]或[x]=[b]/[A]。

對於線性聯立方程式目前已經發展出許多種解法，其中包括變數迭代消去法及克雷蒙法(Creamer's Method)。目前MATLAB 所使用之解法則以變數迭代消去法為主，或稱為高斯(Gauss Ｅlimination)消去法。這是利用兩線性方程式分別乘以某特定常數，使其與另一方程式之同一變數係數相同，因而兩式相減得以消除該變數。如此展轉消除，最後可以得聯立方程之解。茲舉例說明如下：

  3x +4y =10
  5x -2y =8

上述聯立方程式中，先將第一式乘兩邊5、第二次兩邊乘3，兩式相減，即可得：

   5(4y) - 3(-2y) = 5* 10 - 3*8

由上式整理之後，可得果為y = 1；代入原式任一式可得x = 2，終得解。如果利用第九章之繪圖指令可以繪出此兩條曲線，由其交點即可得到相同的解。

   ezplot('3*x+4*y-10',[-10,10]);hold on 
   ezplot('5*x-2*y-8',[-10,10]) 

圖10.1

利用這樣的解法並不是解線性方程式之重點，因為線性代數方程式可用矩陣的型式表示，甚至以矩陣之乘除法可以得解。以上面之聯立線性方程式為例，可以化成ＡＸ＝Ｃ之型式，設x=x1，y=x2：

左除法求解

利用MATLAB求解時，只要用矩陣倒除即可，或稱為左除法。例如一組聯立方程式以矩陣表示為[A][X]=[C]時，其未知數項[X]可以利用MATLAB倒除的指令求得，即[X]＝[A]\[C]：

A=[3 4;5 -2];
C=[10;8];
X=A\C 

X =
    2
    1 

結果立即得到x1=2、x2=1。

反矩陣法求解

解上式矩陣有時可用反矩陣法。反矩陣有倒數的意義，但在矩陣中必須為方矩陣，且須為非特異矩陣(non-singular)。通常用(^-1)次方表示之，如A^-1 。其基本特質為與原矩陣相乘後，將得到單位矩陣Ｉ：

  A-1A=AA-1=I

以此乘於ＡＸ＝Ｃ之兩側，可得：

  A-1AX=A-1C 　或A-1AX=IX=X= A-1C

在MATLAB反矩陣A^-1 之求法為inv(A)；Ｉ或稱為單位矩陣，表示為eye(A)。就上面之聯立方程式之解，可以用MATLAB演算如下：

A=[3 4;5 -2];
C=[10;8];
X=inv(A)*C 
X =
   2.0000
   1.0000 

所得的結果與前述之分析相同。理論上雖然如此，在演算時求反矩陣較費時間，使用左除法是
為較佳的操作法。

範例：有一組聯立方程式如下：

   6x - 3y +5z = 12
  10x + 4y -8z =-20
  -6x + 2y +3z = 15

解：先安排Ａ及Ｃ矩陣，再利用左除法求得[X]。

A=[6 -3 5;10 4 -8;-6 2 3];C=[12 -20 15]';
x=A\C
C=A*x 

x =
   0.0479
   2.1737
   3.6467
C =
  12.0000
 -20.0000
  15.0000 

由上述的計算，可以迅速得到結果，即　x= 0.0479, y= 2.1737, z= 3.6467。通常利用MATLAB解聯立方程式，亦會碰到無解的情形，此時或稱為特異狀況（或 |A| 為零的情形）。前述之左除結果，可用以反求Ｃ值，Ｃ＝Ａx，其結果也正確。