2.10 陣列運算

矩陣為一組二維向量之實數或複數之陣列，其加減乘除之運算與一般的數學運算法略有不同，陣列通常以行向量為主，但一般運算仍可混用。即使如此，在線性代數中所定義的矩陣操作大體上
Matlab均能支援。其中諸如一般運算、線性方程、特徵值及單一值與階乘運算等均包括在內。

由於陣列所代表的是一堆有系統的數字，與另一個陣列相運算時，必須依據不同的規則才能獲得
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操作名稱 　　　　　　應用情形
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C= A◎B－－ ◎處可為加法(+)、減法(-)、乘法(*)、左除(\)、右除(/)
C= A.◎B－－ ◎處可為乘法(*)、乘幂(^)、左除(\)、右除(/)
C= A◎c－－ ◎處可為加法(+)、減法(-)、乘法(*)、乘幂(^)、右除(/)
C= c◎B－－ ◎處可為加法(+)、減法(-)、乘法(*)、乘幂(^)、左除(\)、右除(./)

由表中可知，一個操作元前有一點與沒有一點其意義是不同的。在操作元前加一點表示是項目與項目間之操作，即為所謂之對映運算方式，此時兩矩陣之大小要相同。這與一般矩陣之加法及減法相同，其運算僅針對元素間之運算。偏置功能則僅適用於矩陣間，不適用於項目間之操作。這些操作元亦可應用於矩陣與一般常數，後者之大小為[1x1]。

2.10.1矩陣之加減

設C、D分別為3x3之方矩陣，且設C為魔術方塊，D為[1 2 3;4 5 6;7 8 9]，即：

>>C=magic(3)
  C =
      8  1  6
      3  5  7
      4  9  2

>>D=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
  D =
      1  2  3
      4  5  6
      7  8  9

則C+D與C-D之結果分別為各對應元素間之相互運算：

>>C+D ％對應元素相加
 ans=
      9   3   9
      7  10  13
     11  17  11

>>C-D ％對應元素相減
  ans=
        7  -1  3
       -1   0  1
       -3   1 -7

2.10.2矩陣之乘法

下面是C.*D與C*D兩種之運算結果，前者為對應元素相乘；後者為兩個矩陣進行數學相乘：

>>C.*D %對應元素相乘
  ans =
        8   2  18
       12  25  42
       28  72  18

>>C*D ％矩陣乘法
  ans =
        54  69   84
        72  87  102
        54  69   84

數學矩陣相乘所代表的意義因實際的問題而定。例如有一化妝品系列，均由三種原料調配而成，因原料之分量會產生不同產品系列。今設有四種產品，其基本原料分別如有下份量：

>>A=[ 2 4 3; 5 2 1; 7 3 5; 4 5 6] 
   ans=
        2  4  3　%產品1之成分
        5  2  1　%產品2之成分
        7  3  5　%產品3之成分
        4  5  6  %產品4之成分

此時矩陣A代表四種產品（四列）之三種成份量。現設三種成分均有不同的價格，其價格設以一行向量表示，即：

>>P=[120 50 100]' 
  P =
      120
       50
      100

若用向量的表示法，第一種產品之成分代表A(1,:)，即：

>>A(1,:) 
  ans = 
        2  4  3

即為A矩陣之第一列，其成本只要將A(1,:)與P相乘，即A(1,:)*P，其結果為：

>>A(1,:)*P 
    ans = 740

亦即代表產品1的成本，若直接計算應為

　　　2 x (120) + 4x(50) +3x(100) = 740

結果與上面之A(1,:)*P相同。

故上面四種產品，若以成分矩陣Ａ與價格矩陣Ｐ，即可得四種產品之成本：

>>A*P 
  ans =
        740
        800
       1490
       1330

不過上述這種乘法必須意到其矩陣大小之配合。由前述可知：A之大小為(4x3)，P之大小為(3x1)，得到的結果為(3x1)。換言之，兩矩陣相乘，第一矩陣之行與第二矩陣之列，其大小應一致。而結果之大小應為第一矩陣之列與第二矩陣之行，或(4x3)(3x1)＝(4x1)。以通式表示之：

      A[m,n] * B[n,p] = C[m,p]

若以其元素間之關係而言，可表示如下：

       c(ij)=Σ　a(ik)b(kj)

其中，i=1,2,…,m；j=1,2,..p，k=1,2...n。其結果即為C[m,p]。由於矩陣大小須配合的關係，顯然B*A並不一定存在，除非其除非其大小均為方矩陣(如前面C*D之例子)，但即使如此，其結果也並不一定相同。如：

>>D*C 
  ans =
        26   38   26
        71   83   71
       116  128  116

足見D*C與C*D的結果並不同。但只要矩陣之大小相搭配，其分解及分配之特性則仍然存在，如：

　　A*(B+C)=A*B + A*C

或

　　(A*B)*C=A*(B*C)

矩陣相乘，還有許多有趣的例子。既然大小要相符合，那兩個大小相同之方矩陣之相乘應不會有差錯，至少大小之搭配上不會有問題。如某矩陣AA，設其為(3x3)的魔術方陣：

>>AA=magic(3)
  AA =
        8  1  6
        3  5  7
        4  9  2

則

>>AA*AA 
   ans =
         91  67  67
         67  91  67
         67  67  91

>>AA*AA*AA
   ans =
         1197  1029  1149
         1077  1125  1173
         1101  1221  1053

>>AA^3 
  ans =
         1197  1029  1149
         1077  1125  1173
         1101  1221  1053

顯然矩陣AA之三次方與AA*AA*AA之結果相同。若用eye(3)函數產生單位矩陣，則其無論先乘與後乘，結果都會一樣。

>>I=eye(3) 
  I = 
      1  0  0
      0  1  0
      0  0  1

>>AA*I 
   ans =
      8  1  6
      3  5  7
      4  9  2

>>I*AA 
   ans =
      8  1  6
      3  5  7
      4  9  2

結論是若Ｉ為單位矩陣，則Ｉ*A＝Ａ*Ｉ＝Ａ，顯示交換律在此情形下仍可成立。

2.10.3 陣列之除法

陣列除法屬逐元除法，因此兩陣列相除時必須同樣大小。例如：

>> a=[2 3 4]
   a =
        2     3     4

>> b=[5 6 7]

   b =
        5     6     7

>> a./b
   ans =
        0.4000    0.5000    0.5714

>> c=[1 2;3 4]
   c =
        1     2
        3     4

>> d=[3 5; 8 7]
   d =
        3     5
        8     7

>> c./d
   ans =
       0.3333    0.4000
       0.3750    0.5714

這是兩陣列經過右除(./)運算之結果。

2.10.4 陣列之次方

陣列之逐元運算亦可應用於次方，但其次方數必須為常數，以pascal函數產生之對稱矩陣為例：

>> A=pascal(3)
   A =
     1     1     1
     1     2     3
     1     3     6

>> A.^3
   ans =
     1     1     1
     1     8    27
     1    27   216