10/30/2006

8.3多項式分母之展開式

多項式餘式residue


多項式分母若無重根的情況,應可進行因式分解,並求得其係數,此可以利用residue指令求解,其語法如下:

[r,p,k] = residue(b,a)
[b,a] = residue(r,p,k)


其中,b與a分別為兩個多項式。其中a為一分式之分母,b該分式之分子,兩者均為向量型式;而[r,p,k]等則為行向量,分別代表展開後之分子、分母及餘數之係數,若能除盡則k項應為零。r與p分別為餘數與極數,其個數應相等,但應比a之個數少一。

當極點(根)均相異的狀況下,值若p中有相同值時,其解的型式必須稍作變化,例如:

b =[ 3 -6 4]; a =[ 1 -5 8 -4];
>> [r,p,k]=residue(b,a)
r = 2
4
1
p = 2
2
1
k = []

其結果應解釋為如下之型式:

b(x)/a(x)=(3x²-6x+4)/(x³-5x²+8x-4)=2/(x-2)+4/(x-2)²+1/(x-1)

RESIDUE這個指令也可以採用逆向方式反求A與B之多項數,只要將其參數反向即可,如:

[B,A] = RESIDUE(R,P,K)

其中RPK之定義如前述,但此時成為輸入項,輸出為A與B,但應注意其對應位置。下面為上述之反向例:

>> [b,a]=residue([2 4 1],[2 2 1],[])
b = 3 -6 4
a = 1 -5 8 -4

其所得結果與前述相同。