10.3 虛反矩陣指令pinv之應用

pinv指令

在多數解的例子中，有時並不是僅要將其中一變數設定為零之解。為使整個系統得到最佳化，亦可利用pinv指令求得最小模組之合理解。pinv(A)又稱為虛反矩陣(pseudoinverse)，其功能與反矩陣之計算相同，但它會基於svd(A)函數(或稱奇異值分解函數)之計算方式，求得一個不是屬於全階之矩陣A之反矩陣。這是長方形矩陣求解時，在多重解中求其反矩陣之折衷方式。故若矩陣A為方矩陣或非零矩陣，則其結果應與inv(A)相同。只是在這樣的狀況，寧可使用inv(A)較為省事。處理這些長方矩陣或特異矩陣時，使用pinv(A)會有意想不到的效果。其解法是根據反矩陣法：

A=[3 2 1; 10 -25 5];C=[5000 2000]';
>> T=inv(A)*C
??? Error using ==> inv
Matrix must be square.

T=pinv(A)*C 

T =
      1203.9
      485.16
         418 

上面之例因為Ａ不是方形矩陣，故求其反矩陣時會有錯誤的信息，但若用虛反矩陣指令pinv，反而相安無事，這是將T1、T2以其餘一變數T3表示之情況下，求得其最小平方之組合。其結果是否合用則端視問題之限制與應用而定。 PINV(A,TOL) 之指令後面另有參數TOL，可以輸入容許值。其預設值為MAX(SIZE(A)) * NORM(A) * EPS(class(A))，讀者可參考手冊之說明，以瞭解其使用方法。

rref指令

在處理聯立方程式時，若直接有解，應可利用左除法得到其答案。若為多數解，則需要將其重組並簡化至梯形的表列方式，將某些變數設定為自變數，並將其餘因變數之係數均轉換為1。此時可以利用rref([A C])這個指令達到目的。這個指令執行結果，會產生一個增廣矩陣，其內容為[A C]。以前述之T組變數為例：

　M=rref([A C]) 

　M =
           1            0      0.36842       1357.9
           0            1    -0.052632       463.16 

最後簡化之梯形聯立方程式為：

　T1+0.3684T3=1357.9
　T2-0.0526325T3=463.16

此時之聯立方程式經過rref這個指令會將結果簡化。

例題：

下面為一農場作業之資料，比較重要的作業可以分為整地、噴藥及收割等三項。下表為甲乙兩工人對個別作業每公頃所需之作業時數。設若此兩工人今年總工作時數分別為100及150小時，試求其今年各人總作業面積為多少。

小時／公頃 整地作業 噴藥作業 收割作業
========== ======== ======== ========
甲工人       3          5       8
乙工人       2          4       3

設x, y ,z分別為整地、噴藥及收割作業之作業面積數，則甲工人一年之工作情形可以下列方程式表示：

甲工人：3x + 5y + 8z=100
乙工人：2x + 4y + 3z =150

顯然這是一個多數解的系統。設

>> A=[3 5 8;2 4 3]
A =
     3     5     8
     2     4     3
>> b=[100 150]'
b =
   100
   150

利用增廣矩陣可以縮減成簡易之x y z系統：

>> rref([A b])
ans =
    1.0000         0    8.5000 -175.0000
         0    1.0000   -3.5000  125.0000

解之，

　x + 8.5z=-175
    y-3.5z =125

或　x = 8.5z-175, y=125 +3.5z
在這種情況下，由於變數在均為正值之限制之下，故應可以得到一個範圍解。