12.12 轉移函數

12.12轉移函數

此處先介紹轉移函數tf的功能。此函數指在轉換LTI模式至另一種轉移函數型式，或稱為拉普拉斯轉換，以轉移函數在拉普拉斯領域中表示控制對象。這種型式包括實數或複數值之轉換、狀態空間變數之轉換或零極增益(Zero-pole-gain)模式之變數等。其處理資料方式包括單一輸出入(SISO)及多重輸出輸入(MIMO)等二種。

設以下面之h(s)為例，求其轉換函數、零點、極點及增益等。

 h(s)=

        s² + 3 s + 2
    －－－－－－－－－－－
    s3 + 4 s² + 3 s + 1

上述之分母分子多項式，可以用轉換函數表示如下：

>> sys=tf([1 3 2],[1 4 3 1])  %組立轉移函數
 
Transfer function:
    s^2 + 3 s + 2
---------------------
s^3 + 4 s^2 + 3 s + 1

此即為一般所用之表示式，作為TF之物件。在這裡也可以先設定s變數為TF物件之特殊變數，則公式所用之表示式會與前面之表示式一樣。例如：

  
s=tf('s');
H=(s^2+3*s+2)/(s^3+4*s^2+3*s+1)  
 
Transfer function:
    s^2 + 3 s + 2
---------------------
s^3 + 4 s^2 + 3 s + 1

這個結果與sys之變數內涵相同。在這裡s變數只要宣告一次即可，除非在zpk指令中再將s變數轉換。

在多重輸出輸入(MIMO)轉換函數中，可能需要兩維陣列之SISO函數。其處理方式分合併SISO函數模型或使用tf指令，但其參數使用細胞陣列。例如：

 
Ｈ(s) =

         s -1
        ------
         s + 1

        s + 2
     ------------
     s²+4s+5

此時可以使用兩個SISO之函數運作，例如：

 
h11=tf([1 -1],[1 1])
h12=tf([1 2],[1 4 5])  
 
Transfer function:
s - 1
-----
s + 1
 Transfer function:
    s + 2
-------------
s^2 + 4 s + 5

或者採用設定's'拉普拉斯參數法：

>>s=tf('s');h12=(s-1)/(s+1)
>>h22=(s+2)/(s^2+4*s+5)  
 
Transfer function:
s - 1
-----
s + 1
Transfer function:
    s + 2
-------------
s^2 + 4 s + 5

結果與h11與h12相同。最後H(s)可以合併為：

>>H=[h12;h22]  

 
Transfer function from input to output...
      s - 1
 #1:  -----
      s + 1
           s + 2
 #2:  -------------
      s^2 + 4 s + 5
 

這種方式比較簡潔易明。另外之方法則利用tf函數指令而採用細胞陣列（設為N與D）代表其分子與分母。亦即：

有關此MIMO轉換矩陣之輸入順多如下：

N={[1 -1];[1 2]}; % N(s)
D={[1 1];[1 4 5]}; % D(s)
H=tf(N,D)  

 
Transfer function from input to output...
      s - 1
 #1:  -----
      s + 1
           s + 2
 #2:  -------------
      s^2 + 4 s + 5

tfdata指令

指令tf執行結果均以物件表示，若要將其轉換回原分子與分母之型式，則必須採用tfdata指令，等於tf之反向指令。例如：

>>h=tf([1 1],[1 2 5])  
 Transfer function:
    s + 1
-------------
s^2 + 2 s + 5
   
>>[num, den]=tfdata(h,'v')  
num =
     0     1     1
den =
     1     2     5  

其回應值為兩個列向量。若採用多項輸出入(MIMO)，將上述物件h改為：

>>H=[h;tf(1,[ 1 1])];
>>[num, den]=tfdata(H);
>>celldisp(num)
>>celldisp(den)  
num{1} =
     0     1     1
num{2} =
     0     1
den{1} =
     1     2     5
den{2} =
     1     1