11.12通用線性模式

11.12.1通化線適配Glmfit

常用線性迴歸 (generalized linear model)可以用於直線之適配或任何能與其參數構成線性之函數，其資料之取得假設為常態分佈。雖然這個方法並不十分實際，但仍然算是最簡單的迴歸方式。通用線性模式將線性模式加以擴充，其一是引入連結函數，使參數之線性可以放宽；其二是誤差分佈即使非常態分配的狀態也可使用。

B = glmfit(X, Y, 'distr')
B = glmfit(X, Y, 'distr', 'link', 'estdisp', offset, pwts, 'const')
[B,dev,stats] = glmfit(...)

通化線模 GLMFIT指令係以預測矩陣Ｘ及迴應值Ｙ來配對，其採用的分配曲線由'distr'指定。執行結果置於Ｂ，是為估計之係數向量。 分配曲線'distr'可為 'normal'、 'binomial'、 'poisson'、 'gamma'與 'inverse gaussian'等。分配參數可適配至Ｘ中之各行，預設值是自行採用權威性連結。在大部份狀況下，Ｙ為回應之量測值；二項式分配曲線中，Ｙ為兩行資料，第一行為量測數目，第二行為試驗之數目（二項式中之Ｎ參數）。Ｘ之列數與Ｙ相同，包括每一觀察點之預測值。

參數'link'亦提供選擇性連結，以此提供f(mu) = xb關係式之修正，使分配參數mu與預測子xb可以產生較佳的適配性。'link'可為下列情況中之一種：

文字串 ：其內容及代表意義如下表：

'link'	意義	預設連結
'identity'	μ=xb	'normal'
'log'	log(μ)=xb	'poisson'
'logit'	log(μ/(1-μ))=xb	'bionomial'
'probit'	norminv(μ)=xb
'comploglog'	log(-log(1-μ))=xb
'logloglink'	log(-log(μ))=xb
'reciprocal'	1/μ=xb	'gamma'
p（一個數字）	μp=xb	'inverse gsussian'(p= -2)

-一個細胞陣列的型式如 {@FL @FD @FI} ，此三函數分別定義該連結 (FL)、連結之導數 (FD)及反連結 (FI)。
- 一個細胞陣列的型式包括三個 inline 函數以定義連結、導數及反連結函數。

上述後兩項連結中，其細胞陣列可使用外加函數或以inline指令設定之三函數──連結、其導數及反函數。例如：

本函數：　　FL=inline('x.^-0.5')
導數函數：　FD=inline('-0.5*x.^-1.5')
反函數：　　FI=inline('x.^-2')

然後在細胞陣列位置填入　{FL FD FI}
上述函數定義亦可改寫為：　{@FL @FD @FI}，只要將此三檔案定義在M-檔案中。或用匿函數如 FL=@(x) x.^-0.5

導數函數：　FD=@(x)  -0.5*x.^-1.5
反函數：　　FI=@(x) x.^-2

然後在細胞陣列位置填入　{FL FD FI}即可。

其他， 'estdisp'為離散參數之開關，設定為'on'時可使二項式或波義松分佈曲線之離散參數估計值( dispersion parameter)及標準差；設定為 'off' 時則使用理論離散值。對某些分配而言，'on'常為預設值。

輸入參數offset則是一個額外的預測向量，惟其係數固定為1.0。pwts則為先前權重之向量，例如每一對Ｘ與Ｙ的觀察頻率。參數 'const'可為 'on' (預設值) 以包含常數項，常數項省略時則設定為 'off' 。常數項為Ｂ之第一元素（不要直接在Ｘ矩陣中的第一行輸入１）。

輸出方面，dev為正解之偏異值，stats則為統計資料結構，包括下面之欄位： stats.dfe (誤差之自由度)、 stats.s (理論與離散參數估計值), stats.sfit (離散參數估計值)、stats.estdisp(=1有離散估計值；=0固定)stats.beta(Ｂ係數之向量) stats.se (B係數之標準差), stats.coeffcorr (B相關係數矩陣), stats.t (B之t 檢驗)、 stats.p (B之p-值), stats.resid (殘值)、stats.residp (Pearson 殘值)、stats.residd (偏異殘值)、stats.resida (Anscombe殘值)。

範例：汽車之資料中，依重量由2100-4300磅的範圍有很多的選擇，可以進行加侖里程之檢測，設認為性能不佳者(poor)依抽測之結果有如下之數據：

w = (2100:200:4300)';
poor = [1 2 0 3 8 8 14 17 19 15 17 21]';
total = [48 42 31 34 31 21 23 23 21 16 17 21]';
[w poor total]
ans =
2100           1          48
2300           2          42
2500           0          31
2700           3          34
2900           8          31
3100           8          21
3300          14          23
3500          17          23
3700          19          21
3900          15          16
4100          17          17
4300          21          21
plot(w,poor./total,'ro')

上述資料中，total為總抽測之數量；而 poor為認為性能不佳之數量。性能不佳之比例具有兩界限值，即[0 1]。可以利用這些資料進行適配分析，但一般線性迴歸無法包含兩個界限附近的數值，使用多項式或對數是一個方法。下面之例是利用'binomial'、 'logit'（預設）與使用'probit'進行適配比較：

[bl,dl, s1] = glmfit(w,[poor total],'binomial');
[bp,dp] = glmfit(w,[poor total],'binomial','probit');
[dl dp]

ans =
6.4842    7.5693

就偏異值而言，使用logit模式比probit為小。所以logit模式似乎略勝一疇。由上式的統計資料中，可以得知迴歸係數、標準差、t檢驗及Ｐ值分別如下：

[bl sl.se sl.t sl.p]

ans =
-13.3801    1.3940   -9.5986    0.0000
0.0042    0.0004    9.4474    0.0000

由於Ｐ值均接近於零，故其對應之截距與斜率均在顯著水準。