5.2多維陣列

5.2Multi-Dimensional Arrays

一般的矩陣多探討兩維。三維陣列雖僅增加一個維數，但型式就複雜許多。二維陣列以行、列表示，故在標示上，僅有兩個下標，如A(3,4)即為列3行4的表示法。若增加一維，則必須再增一個下標位置。而其所代表的意義變成另一層，而不是行列的觀念，增加之層次通常以頁數(pages)表示之。故A(3,4,1)變為第一頁，而A(3,4,2)為第二頁。其前兩標仍維持二維之行列觀念，故A(3,4,1)表示第一頁第三列第四行之元素，而A(3,4,2)表示第二頁第三列第四行之元素。

若要指出第一頁或第二頁所有的元素，則可以使用冒號代表。如A(:,:,1)、A(:,:,2)是。

>>A(:,:,1)=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];  ％第一頁輸入，結果不顯示
>>A(:,:,2)=magic(3)  %第二頁輸入，並顯示整個矩陣之結果
>>A(:,:,1) =
     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9 

>>A(:,:,2) =
     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2  

輸入第一頁時其頁數可以省略，處理其餘頁數時則必須標明。通常要觀察一個多維矩陣之維數，可用ndims或size函數，只是兩個結果之表示法略有不同，例如：

>>ndims(A)  
ans =     3  

>>size(A)  
ans =     3     3     2  

多維矩陣之形成，亦可利用另一個函數cat(dim, C, D,…)進行增減，cat又稱為串接指令，可以將許多小矩陣依dim維度之安排進行組合。dim參數即表示所要做的矩陣維數。當dim=1時，表示產生一個[C;D]疊加的行向矩陣；dim=2時，則產生一個[C D]疊加的列向矩陣；而dim=3時，則產生一個分別由C與 D各佔一頁的三維矩陣。例如：

>>c=[1 2;3 4], d=[5 6;7 8]  
c =
     1     2
     3     4 
d =
     5     6
     7     8  

>>cat(1,c,d)  
ans =
     1     2
     3     4
     5     6
     7     8   

>>cat(2,c,d)  
ans =
     1     2     5     6
     3     4     7     8  


>>cat(3,c,d)  
ans(:,:,1) =
     1     2
     3     4
 
ans(:,:,2) =
     5     6
     7     8  

在組成多頁之多維系統時，基本上其大小應一致，否則無法搭配。以下面之列為例，在第三維中，其二維之大小必須相同：

>>A=cat(3,[9 2;6 5],[7 1;2 8])  
 
A(:,:,1) =
     9     2
     6     5 

>>A(:,:,2) =
     7     1
     2     8 

>>A=cat(3,[9 2 4;6 5 3],[7 1 2;2 8 4])  
A(:,:,1) =
     9     2     4
     6     5     3

A(:,:,2) =
     7     1     2
     2     8     4  

>>B=cat(3,[3 5;0 1; 1 4],[5 6;2 1;2 8])  
B(:,:,1) =
     3     5
     0     1
     1     4
 
>>B(:,:,2) =
     5     6
     2     1
     2     8  

若三維仍然不足，必須增加為四維時，則必須增加一個表示第四維之下標。在置放時，其第三維除非特別說別，均設為１，而其餘矩陣則依第四維之順序置入，亦即所輸入之資料是置於第三維之第一頁中：

>>C=cat(4,[4 2;6 5],[5 8;8 2])  
C(:,:,1,1) =
     4     2
     6     5

C(:,:,1,2) =
     5     8
     8     2  

>>C=cat(4,[1 2 5;4 5 7],[7 8 0;3 2 9])  
C(:,:,1,1) =
     1     2     5
     4     5     7
 
>>C(:,:,1,2) =
     7     8     0
     3     2     9  

若M與N為兩三維矩陣，今擬置於另一四維矩陣中時，其結果如下：

>>D=cat(4,A,B,cat(3,[1 2;3 4],[4 3;2 1]))  
 >> A=cat(3,[1 1;2 2],[3 3 ; 4 4])
A(:,:,1) =
     1     1
     2     2
A(:,:,2) =
     3     3
     4     4
>> B=cat(3,[11 22;33 44],[44 44;55 55])
B(:,:,1) =
    11    22
    33    44
B(:,:,2) =
    44    44
    55    55
>> D=cat(4,A,B,cat(3,[7 7; 8 8],[ 9 9; 2 2]))
D(:,:,1,1) =
     1     1
     2     2
D(:,:,2,1) =
     3     3
     4     4
D(:,:,1,2) =
    11    22
    33    44
D(:,:,2,2) =
    44    44
    55    55
D(:,:,1,3) =
     7     7
     8     8
D(:,:,2,3) =
     9     9
     2     2
 

其中，D(:,:,:,1)是置放Ｍ矩陣；D(:,:,:,2)是置放Ｎ矩陣；而D(:,:,:,3)則置放後面所串接之矩陣，其維數可以檢測如下：

>>ndims(C)   =  4   
ans =     4  

要取出其中之陣列應用時，必須在整數的指標指到其對應之陣列，例如：第四層中之第二頁、第三層中之第二頁之第一列第二行為：

>>D(1,2,2,2)  
ans =     6  

>>D(1,2,2,3)  
ans =     3  

>>D(1,2,1,2)  
ans =     5  

為方便起見，超過二維之多維部份亦可用指標向量指向其頁數矩陣：

>>k=D(:,:,1,[1 3])  
k(:,:,1,1) =
     9     2
     6     5

k(:,:,1,3) =
     1     2
     3     4