第八章 多項式之應用

對於多項式MATLAB也提供許多指令可供運算，相關的指令如下表：

函數名稱	說明
conv(p,q)	兩多項式相乘
[q,r]=deconv (num,den)	兩多項式相除,q為商，r為餘數，num分子，den為分母
roots	求多項式之根
poly(r)	將根轉為多項式.
polyval(p,x)	計算多項式之值，p為多項式之係數矩陣，x為變數值，可為矩陣型式
polyvalm(p,X)	計算多項式之值，p為多項式之係數矩陣，X為變數值，為方矩陣型式
residue	部份展開式之餘數.
polyfit(X,Y,n)	多項式資料回歸，(X,Y)為對應資料，n多項式最高次方
polyder (p)	多項式微分
polyint(p,K)	多項式之積分，Ｋ為常數

多項式中，主要以其係數組成一向量作為運算之基礎。多項式之通式可表示如下：

F(x)=a1xn+a2xn-1+...+an-1x2+anx+an+1

其中x 為變數，n為其最高之階，為變數x之次方。而a₁, a₂ ,…,a_n , a_n+1等則分別係數，可以利用向量矩陣表示。以上項之通式為例，其向量p為:

p=[a1, a2 ,…,an , an+1]

代表F(x)這個多項式。多項式間之運算則以其p向量為代表。例如，兩多項式之相加，設其向量p=[20 -7 5 10]，另一為q=[1 8 1 -6]，則相加後應為m=[21 1 6 4]，亦即其多項式和為21X³+X²+6X+4。此處若兩向量之大小不同，則較少的前面元素應以零補齊。兩多項式相減時亦同。多項式若乘以一個常數，則直接以常數乘上每項係數或向量中之每個元素即可。但若為兩個非常數之多項數相乘或相除，則必須藉助MATLAB之指令conv或 deconv來運算才行。這兩個指令均有兩項輸入，分別為兩多項式之向量。例如兩多項式之向量分別為p,q：

>>p=[1 5 3 4 1] %代表多項式X４+5X3+3X 2+4X+1
 p = 1 5 3 4 1

>>q=[8 3 -5 6] %代表多項式8X3+3X2-5X+6
 q = 8 3 -5 6

兩者相乘後，設為Ｍ，則Ｍ應為：

多項式乘法conv

>>M=conv(p,q)
 M =
   8 43 34 22 35 1 19 6

此多項式為

8X7+43X6+34X5+22X4+35X3+X2+19X+6。

多項式除法deconv

今若將Ｍ除以q，利用deconv函數指令，其結果應為：

>>[s,r]=deconv(M,q)
s =
 1 5 3 4 1
r =
 0 0 0 0 0 0 0 0

此s向量與p向量相同，r則為除後之餘數，目前為零，因為完全除盡。例如：

>>[s,r]=deconv(p,q)
s =
 0.1250 0.5781
r =
 0 0 1.8906 6.1406 -2.4688

此時之商s為0.1250X + 0.5781；其餘項為

1.8906X3+ 6.1406X2 -2.4688

上述多項式相乘除之指令conv與deconv並不需要相同的向量長度。即使除法，其前項為分子，後項為分母，分子之長度通常比分母長，但並不必要如加法或減法，需在前面加零元素，以湊成相同的長度。

多項式求值polyval

其次為多項式值之計算可用polyval(p,x)指令計算多項式之值，其中p為多項式之係數向量，x為變數值，可為向量矩陣型式：

>>x=0:5,p=[1 -3 3 6]
x =
0 1 2 3 4 5
p =
1 -3 3 6

>>f=polyval(p,x)
f =
6 7 8 15 34 71

上式中p代表多項式f(x)之向量，其所得值為f(0)、f(1)，…f(5)分別為f向量之元素值。運算時，亦可合併為一個指令執行，只要位置放對就行：

>>f=polyval([1 -3 3 6],[0:5])
 f =
    6 7 8 15 34 71