4.3矩陣之應用

矩陣之相乘雖然屬於元素與元素間之相乘，但其結果可能因解釋或其實際之意義而不同。前文所述之陣列相乘即是一種例子，但其結果是相對應位置的元素相乘。這種逐元乘法在Matlab中相當普遍，而通常矩陣的加法、減法是與逐元之加法、減法是一致的，其應用比較簡單。至於矩陣的乘法（或未來的除法）其代表的意義自有不同。

範例一：向量之點積(Dot product)

以向量為例，通常一個向量可以使用三個垂向座標來表示，而各座標之單位向量（其量為一，但方向維持座標方向）若以i、j、k表示，則任一向量Ｖ、U可以表示如下：

V=v1 i + v2 j + v3 k；Ｕ＝u1 i + u2 j + u3 k

今若要求這兩向量間之內積(dot product)，則Ｖ。Ｕ之結果應為各向量同方向之分量之積之和，亦即：

Ｖ。Ｕ＝v1.u1+v2.u2+v3.u3

這個結果若能以矩陣表示，設Ｖ＝[ v1　v2　v3]；Ｕ＝[ u1　u2　u3] ，則

Ｖ。Ｕ＝v1.u1+v2.u2+v3.u3＝ [ v1　v2　v3][ u1　u2　u3]'

在MATLAB有一個點積指令稱為dot()，其指令型式如下：

dot(U,V)

假設：V=[ 25 4 50]; U=[15 20 5]，結果：

   >>V.U=[25 4 50]*[15 20 5]'
     ans =
       705
   >> [15 20 5]*[25 4 50]' %即使順序掉換，其結果亦相同。
     ans =
      705

   >> [25 4 50]'*[15 20 5]　%但是這樣掉換，其結果完全不同。
     ans =
       375         500         125
        60          80          20
       750        1000         250

上述的例子中，使用點積指令亦可得到同樣的結果：

>> dot([25 4 50],[15 20 5])

  ans =

   705

>> dot([25 4 50],[15 20 5]')

   ans =

   705

因此，若利用點積指令，也可以求得某特定向量之絕對值如下：

>> r=sqrt(dot([25 4 50],[25 4 50]))

r =

   56.0446

>> u=[25 4 50]/r

u =

    0.4461    0.0714    0.8921

上述u則為該向量之單位向量了。

範例二：叉積指令(Cross)

兩向量間之叉積在於求得兩向量所構成之垂向面積，而其方向則是垂直於該面積之正方向。例如扭矩等於力與力臂之叉積，而其方向則在於共同垂直於此二向量之方向。叉積之指令型式為：

M=cross(R,F)

設有A向量沿x軸，其向量值為A=1i，以向量陣列表示為A=[1 0 0]；B為沿y方向，其向量值B=2j，或B=[0 2 0]；則結果向量Ｄ應為：

D=AxB (注意此處x號為叉積或cross的意思，不要與矩陣之*混淆），則

>> A=[1 0 0];B=[0 2 0];
>> D=cross(A,B)

D =

     0     0     2

其結果在z方向，其值為2。
若兩向量均不在特別之座標上，則結果也可能在空間上，例如：

>> m=cross([1 2 3],[5 4 3])

  ans =

    -6    12    -6

至於要求得m之絕對值，則有下列方法：

>> r2=sqrt(m*m')

r2 =

   14.6969

>> r2=sqrt(dot(m,m))

r2 =

   14.6969

兩者均可得到相同的答案，則如何求其單位向量，相信應更容易了。

範例三：九九乘法表

例如：製造一個九九乘法表，其方法可以利用上述的用法迅速得到答案：

   >> A=[1:9];Table=A'*A
     Table =
   1     2     3     4     5     6     7     8     9
   2     4     6     8    10    12    14    16    18
   3     6     9    12    15    18    21    24    27
   4     8    12    16    20    24    28    32    36
   5    10    15    20    25    30    35    40    45
   6    12    18    24    30    36    42    48    54
   7    14    21    28    35    42    49    56    63
   8    16    24    32    40    48    56    64    72
   9    18    27    36    45    54    63    72    81

同理，試算出一長L=[2 4 6 8 10]m、寬W=[1 2 3 4 5]m所構成之組合及其對應之重量。設密度為10kg/cm^3 。

>> Weight=[2:2:8]'*[1:5]*10

Weight =
  20    40    60    80   100
  40    80   120   160   200
  60   120   180   240   300
  80   160   240   320   400

範例四：生產成本分析

某工廠件生產三件主力產品A、B、C三種。生產過程中，其材料、勞力、設備及運輸等之單位產品成本亦自不同。設每樣產品一年分四季生產，其售價亦四季不同，求其每季之生產成本、單項產品之生產成本、單項產品之銷售及利潤等。其相關資料如下：

單位生產成本，Ｐ（NT$）

產品名	材料	設備	人力	運輸
Ａ	100	22	65	12
Ｂ	50	15	80	5
Ｃ	200	30	50	20

每季生產量，Ｑ單位

產品名	第一季	第二季	第三季	第四季
Ａ	100	200	250	90
Ｂ	250	200	150	100
Ｃ	80	100	120	150

每季售價格，Ｗ（NT$）

產品名	第一季	第二季	第三季	第四季
Ａ	300	250	250	200
Ｂ	400	350	250	150
Ｃ	500	600	650	700

先將三種資料輸入P、Q、W等三個矩陣，其大小均為(3x4)：但Ｑ之四項與Ｐ之四項並不屬同性質，故即使矩陣之大小配合，也須注意不能隨意相乘。

   >>P=[100 22 65 12;50 15 80 5;200 30 50 20];
   >>Q=[100 200 250 90;250 200 150 100;80 100 120 150];
   >>W=[300 250 250 200; 400 350 250 150;500 600 650 700];

輸入後之值如下：

>>P  %單位成本
P =
100    22    65    12
50    15    80     5
200    30    50    20   Q  ％每季生產量

>>Q =
100   200   250    90
250   200   150   100
80   100   120   150  W  ％每季之產品價格

>>W =
300   250   250   200
400   350   250   150
500   600   650   700

為求得每季之生產成本，可用C=P'*Q 計算，其大小之型式為(4x4)=(4x3)(3x4)。結果為4x4，其列為材料、設備、人力及運輸之成本，行向為四季。注意前者P用移置功能，主要將其大小轉為符合矩陣之乘法：

>>C=P'*Q
C =
     38500       50000       56500       44000
      8350       10400       11350        7980
     30500       34000       34250       21350
      4050        5400        6150        4580

上式Ｃ矩陣為四季之成本，若將材料、設備、人力及運輸成本合計，則各季之成本小計可用sum函數計算：

>>Qcost=sum(C)
  Qcost =
     81400       99800      108250       77910

Qcost為四季之成本，若需要總成本，則需再用一次sum函數：

>>Total_cost=sum(Qcost)
  Total_cost =
    367360

其次要計算單項產品之成本時，可利用原來之Ｐ矩陣。因為其列為產品名稱，行為分項成于，故若列向相加，應可得各項產品之單位成本，其法可利用sum函數，但其第二參數應輸入2，表示以列向（橫向）相加：

>>Prod_unitcost=sum(P,2)
  Prod_unitcost =
 199
 150
 300

同樣，對生產量Q而言，由於其行向屬不同季節，若將其合併，應為一年之總生產量，故仍然應用sum函數，但記得其第二參數為2：

>>Prod_Q=sum(Q,2)
>>Prod_Q =
 640
 700
 450

有了單位總生產成本Prod_unitcost及年生產量Prod_Q，即可直接用元素對應元素乘法，求得其總成本。注意此時之操作元乘號前須加點，即.* 。

>>Prod_cost=Prod_unitcost.*Prod_Q
Prod_cost =
    127360
    105000
    135000

Prod_cost 即為年生產總成本。其次要求得年銷售金額，此時因為Q與W矩陣之行向同為季別，故只要使用元素對元素之乘法即可。其四季之銷售量D=Q.*W：

>>D=Q.*W
D =
     30000       50000       62500       18000
    100000       70000       37500       15000
     40000       60000       78000      105000

目前為求得各項產品之銷售金額，故只要每項產品之四季金額相加即可，此時仍使用sum函數，其第二輸入參數仍設定為2：

>>Prod_sale=sum(D,2)
  Prod_sale =
    160500
    222500
    283000

Prod_sale為全年三種產品之銷售金額。扣除上項得到之成本Prod_cost，即為利潤Profit：

>>Profit=Prod_sale-Prod_cost
Profit =
     33140
    117500
    148000

綜合判斷，Ｃ產品之獲利較高；Ｂ產品次之。讀者可就四季所得之利潤進行分析，其結果應更具參考性。