4.1數學基本函數

一般函數有三角函數、矩陣函數及統計函數。有些由於解說之需要，在前文中已有述及。但基本上，其歸類有些也甚為模糊的，只是這種分類也沒多大意義。故讀者參考時，可以前後作對照。三角函數是工程上最為常見的函數，下表將其列入。

4.1.1三角函數

由於三角函數牽涉到角度的單位，以往其輸入參數均以弧度為單位，故應用時須先轉換，令pi等於180度，依此比例計算。新版的應用中，則增加以度數為單位輸出與輸入的型式，因此不必再經過轉換的程序。在函數的名稱上，若輸入為度數，則可使用字尾加"d"的型式，如xxxd是，詳情見表4.1。當然是否必須使用不同的度數為指令，則見仁見智。若考慮新舊版的共通性，仍仍以採用轉換之型式為宜。

表4.1三角函數指令表

指令型式	說明
sin / sind	正弦函數，輸入參數單位為弧度／度數
cos /cosd	餘弦函數，輸入參數單位為弧度／度數
tan /tand	正切函數，輸入參數單位為弧度／度數
cot /cotd	餘切函數，輸入參數單位為弧度／度數
asin / asind	反正弦函數，輸出參數單位為弧度／度數
acos /acosd	反餘弦函數，輸出參數單位為弧度／度數
atan /atand	反正切函數，輸出參數單位為弧度／度數
acot /acotd	反餘切函數，輸出參數單位為弧度／度數
sinh / cosh	超正／餘弦函數
asinh /acosh	反超正／餘弦函數，輸出參數單位為弧度
tanh /coth	超正／餘切函數
atanh /acoth	反超正／餘切函數，輸出參數單位為弧度
atan2	四象限反正切函數，輸出參數單位為弧度

例1. 計算sin(60)之值：

>>sin(60*pi/180)

ans =    0.8660

>>sind(60)

ans =    0.8660

其結果相同。

例2. 計算sin²(60度)+cos²(60度)之值

>>theta=60*pi/180;
>>sin(theta)^2;+cos(theta)^2;
  ans =     1

>>sind(60)^2;+cosd(60)^2;
  ans =     1

兩者之結果亦相同。

例3. 計算arctan(1)+arccot(1)之值

>>atan(1)+acot(1)
  ans =    1.5708

>>atand(1)+acotd(1)
  ans =    90

前者之單位為弧度，後者為度數，其實兩者所指的角度是相同的。

表4.1中亦列有超函數之計算，這是在許多工程數學常見到的解，其型式近乎雙曲線函數。其定義如下：

cosh x ={exp(x)+exp(-x)}/2

sinh x ={exp(x)-exp(-x)}/2

若依其定義進行計算，則可利用後節之對數函數配合解決，若直接用超函數表示，則可簡單計算如下：

>>cosh(1)
  ans =
    1.5431

4.1.2指數與對數函數

有關指數與對數函數之指令則如表4.2所示。這些指令與極座標有關，也與超函數之運算有關。

表4.2　指數與對數與複數函數指令表

指令型式	說明
sqrt(x)	開方根( )
exp(x)	指數函數(ex)
log(x)	自然對數( )
log10(x)	以10為基底之對數(log10x)
abs(x)	(複數之)絕對值
angle(x)	複數或極座標之夾角，弧度
real(x)	複數之實數部份
imag(x)	複數之虛數部份
conj(x)	共軛複數
i,j	虛數單位，如3+4j，或3+4i

一般數之次方常用"^"表示，如A^5代表A⁵。開平方根則是常用的指令，故有特別的操作函數sqrt，例如３的開平方：

>>sqrt(3)
  ans =    1.7321

同理負數的開方也可以得到結果，只是會產生複數，以-5之開方為例：

>>sqrt(-5)
  ans =        0 + 2.2361i

結果進入虛數的世界，因為得到虛根。所以MATLAB在處理數值時，開方根並不限於正值。
指數方面，因為基底之不同，數學上分為以e 與以10為底；對應於指令方面，分別為log(x)與log10(x)之型式。與對數相應，以e 為底者稱為自然對數，用exp(x)表示。例如e¹其值為：

>>exp(1)
  ans =
     2.7183

顯然e值就是2.7183。由於定義上，y=e^x　兩邊分取對數，則log(y)=x。故上述結果代入log(y)應可得到x，如：

>>log(2.7183)
  ans =
    1.0000

所以兩者是相互為用的。在以10為基底的情況下，若要更換為自然對數，則其對數值應乘以log(10) 。以x=10^5為例，兩邊取自然對數後，成為log(x)=5*log(10)，則：

>>logx=5*log(10)
  logx =   11.5129

>>x=exp(logx)
  x =
     1.0000e+005

其值與原數相同。注意：結果為以10為底之指數型式，由e後面為其次方值。
指數的型式，其輸入項亦可使用複數，以配合極座標之應用。通常將複數中之實數部份作為橫軸，虛數之值則視為縱軸，如此可以構成二度空間。假設某向量R=3+4j，則：

>>R=3+4j
   R =   3.0000 + 4.0000i

由此可以利用計算其絕對值abs(R)、夾角angle(R)：

>>abs(R)
  ans =     5

>>angle(R)*180/pi
  ans =   53.1301

後者之角度已轉換為度數。利用同一複數量Ｒ亦可求其實數、虛數及共軛複數：

>>real(R)　%實數部份　
  ans =     3

>>imag(R)　%虛數部份
  ans =     4

>>conj(R)　%共軛複數
  ans = 3.0000 - 4.0000i

根據尤拉公式，虛數之自然對數可以與正、餘弦作轉換，其基本型式為：

e^ix=cos(x)+ i sin(x)

此時，x之值為弧度值。因此利用這種轉換亦可將自然對數之型式轉換為三函數之關係：例如，設theta=[ 20 60 80]度，則

>>theta=[20 60 80]/180*pi %先轉換為弧度
  theta = 0.3491    1.0472    1.3963

>>eix=exp(i*theta)
  eix = 0.9397 + 0.3420i   0.5000 + 0.8660i   0.1736 + 0.9848i

>>cos(theta)+i*sin(theta)
  ans = 0.9397 + 0.3420i   0.5000 + 0.8660i   0.1736 + 0.9848i

由此可以證明三個不同角度下，其演算結果相同。

就超函數之定義而言，其值與指數間具確定的關係，依照前述之cosh(x)與sinh(x)之定義，兩者相加可以得到如下之如果：

ex=cosh(x)+sinh(x)

>>cosh(1:5)+sinh(1:5)
 ans = 2.7183    7.3891   20.0855   54.5982  148.4132

>>exp(1:5)
 ans = 2.7183    7.3891   20.0855   54.5982  148.4132

兩者對應之結果一致。

4.1.3元素操作函數

有些數值必須在計算中進行整理，使其符合需求。這些函數包括四捨五入(round)、頂部整數(ceil)、底部整數(fix)、近零整數(floor)等。這些功能如下表：

表4.3元素操作函數

指令型式	說明
ceil(x)	大於x之最近整數
fix(x)	位於接近於零之整數
floor(x)	小於x之最近整數
round(x)	四捨五入之整數
sign(x)	符號值，若x>0為+1；x=0為0；x<0為-1>

假設有一向量Ａ為：

>>A=rand(1,10)*10-5  %利用隨機函數產生-5至+5間之亂數
 A =
1.1543    2.9194    4.2181    2.3821   -3.2373   -0.9429
　　　4.3547    4.1690   -0.8973    3.9365

>>round(A)  ％進行四捨五入。
 ans =
  1     3     4     2    -3    -1     4     4    -1     4

>>fix(A)  ％最接近零之整數
 ans =
  1     2     4     2    -3     0     4     4     0     3

>>floor(A)  ％得到最接近Ａ值但低於Ａ值之整數
 ans =
  1     2     4     2    -4    -1     4     4    -1     3

>>ceil(A)  ％得到大於Ａ且最接近於Ａ之整數
 ans =
  2     3     5     3    -3     0     5     5     0     4

>>sign(A)  ％得到該值之符號值，若該值為零，則為零（本例沒有）
 ans =
  1     1     1     1    -1    -1     1     1    -1     1